MATEMÁTICAS SUPERIORES

                                  

 

TESIS DOCTORAL

       

 

 

 

 

 

 

Introducción.

 El cálculo es una de las materias que le brinda las herramientas necesarias al estudiante de ingeniería, como base de la lógica y el razonamiento para el resto de las asignaturas de su especialidad las cuales tienen sus fundamentos teóricos en el cálculo.

 Las asignaturas de Matemática Superior contiene un conjunto de conceptos y operaciones de cálculos  para los cuales se requiere de habilidades que debe el estudiante entender y dominar, a continuación en esta guía tendrá un resumen de los contenidos que le ayudaran a entenderla y seguirla, deseamos nosotros sus docentes que con ella y nuestro trabajo en clases obtenga éxitos en la materia.

La enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral reúne los conceptos fundamentales que el ingeniero de las diferentes especialidades requieren en la modelación matemática de todos los problemas que resuelve. En la enseñanza del calculo diferencial e integral se requiere desarrollar  el proceso de enseñanza aprendizaje a partir de las competencias requeridas para el estudiante de estas carreras. Lo cual requiere de la determinación de los saberes esenciales que requieren desarrollarse en los estudiantes y estos saberes están en función del Saber Conocer, Saber Hacer, Saber Ser y Saber convivir.

La importancia de la matemática en el contexto del desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinada por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de los objetos estudiados por las diferentes ramas de la ciencia y la técnica es decir, describir mediante el lenguaje vigoroso de la matemática, las propiedades de los objetos reales.

Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo integrado. Matemáticas es la ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. Los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y aplicaciones de principios generales en varias áreas. A medida que relacionan ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (ej: física, verbal, numérica, pictórica y gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender cómo están conectadas.

La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la capacidad matemática. Ampliamente definida, la solución de problemas es parte integral de toda actividad matemática. En lugar de considerarse cómo un tópico separado, la solución de problemas debería ser un proceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que se aprenden conceptos y habilidades. La solución de problemas requiere que los estudiantes investiguen preguntas, tareas y situaciones que tanto ellos como el docente podrían sugerir. Los estudiantes generan y aplican estrategias para trabajarlos y resolverlos.

 

                                                                                       SUBIR                                                          

 

 

 

 

Macrocompetencia del Perfil de Ingeniería Civil

 

ACCIÓN OBJETO CONDICIÓN DE CALIDAD
Analiza, diseña y construye.

Sistemas y plantas de control de contaminación (ambiental) Sistemas sanitarios, residuos sólidos y hospitalarios, proyectos de control y preservación del medio ambiente.

 

En base a las reglamentaciones ambientales.
Analiza, diseña y construye

Edificios comerciales, industrias y estructuras especiales. Utilizando  metodologías acordes con el medio  social y la realidad del país

 

En base a un plan regulador urbano a través de la Alcaldía y normas nacionales e internacionales.

 

Analiza, diseña y construye Sistemas de transporte: carreteras, vías férreas, aeroportuarias,  puertos marítimos, obras de arte,    conservación y mantenimiento de estas redes viales, accesos portuarios a vías navegables. De acuerdo a normas de calidad nacionales e internacionales y regulaciones de impactos ambientales.
Preserva, diseña, controla,  supervisa y construye

Recursos hídricos: captación, transporte y tratamiento de agua de diferentes fuentes para uso domestico, riego producción de energía, recreación y otros.

 

En base a normas nacionales e internacionales y regulaciones de impacto ambientales.

 

Administra La construcción de proyectos y obras en todo área de la ingeniería civil desempeña funciones generales de planeación, control, organización de proyectos, Utilizando metodologías constructivas de ejecución de obras, planificación, manejo de personal y todo lo referente a la construcción de obras de Ingeniería Civil. En base al pliego de especificaciones técnicas, generales y especiales.

         

                               

Competencia global del área de Matemática para la Carrera de Ingeniería Civil

ACCIÓN OBJETO CONDICIÓN DE CALIDAD
Diseña y Modela La construcción de obras de infraestructura

 y de saneamiento básico

A través de cálculo diferencial e integral de las operaciones matemáticas correspondientes haciendo uso del análisis numérico.

 

  

 

                                                                                                      SUBIR

 

 

 

Conceptos previos

La unidad se centra fundamentalmente en el estudio de funciones reales de variable real. Por esa razón previamente se revisan algunos conceptos fundamentales en el campo de los números reales.
Se incluye el análisis tanto de las funciones algebraicas como las trascendentes. Se pone especial énfasis en las funciones más utilizadas en el cálculo. Se recomienda la visualización, grafica junto con el trabajo numérico y simbólico, a través del uso de calculadoras graficadoras y diferentes software.

 

 Par ordenado. Es un conjunto de dos elementos (x,y) donde “x” es la primera componente e “y” es la segunda componente del par ordenado.

 

 Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados, cuya primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B, vale decir:

A x B =  

Plano coordenado. Es el conjunto de todos los puntos (pares ordenados) del producto cartesiano de los números reales por los números reales. También se llama plano cartesiano, o plano de coordenadas rectangulares. ( RxR)

 

 Relación.  Se da el nombre de relación de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A x B, o sea:

 

R es relación de A en B

Además:         x R y

Se dice también que una variable “y” llamada dependiente, es relación de otra variable “x” llamada independiente, si al dar un valor numérico a x se obtiene uno o mas valores numéricos para “y”, esto se denota por:

                                                        

                                                                         SUBIR

 

 

 

 

 

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

                  

Donde se dice que f : A  ® B  (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)

 

                                                                SUBIR

                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dominio y codominio de una función.

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X   y que nos generan una asociación en el eje de las Y.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y.

 

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

 

VARIABLES DEPENDIENTES.

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

VARIABLE INDEPENDIENTE.

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

VARIABLE CONSTANTE.

Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

 

Álgebra de funciones

 

El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones:


 
Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:

 

Suma:                                               (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Diferencia:                             (f - g)(x) = f(x) - g(x)

 

Producto:                               (fg)(x) = f(x)g(x)

 

Cociente:                               (f/g)(x) = f(x)/g(x)

 

Los resultados de las operaciones entre funciones f,g  nos conduce a analizar el dominio de las funciones, así para f + g, f - g y fg el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones  el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g, para los que g(x) = 0.

Ejemplos: Tomemos las siguientes funciones:

f(x)= x2

g(x)= x

Las operaciones estarían definidas

Suma                                                 (f+g)(x) =  x2 +  x    

 

Diferencia                                            (f-g)(x)  =  x2 -  x

 

Producto                                                     (f g)(x)  =  (x2) (x) = x3

 

Cociente                                                      (f/g)(x) =   x2 / x = x para x ¹0

 

Nótese que en el caso del que el  cociente sea x = 0,  no existe solución.

 

EJEMPLOS DE FUNCIONES Y ECUACIONES:

La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m = 1) que pasa por el origen, la cual es función debido a no existe un elemento del dominio que relaciones dos elementos del codominio. El dominio es (-¥, ¥) o lo que equivale a decir que el dominio toma todos los valores sobre la línea recta. El rango de la función o codominio es también el mismo,  ya que toma todos los valores en el eje de las Y (-¥, ¥).

   La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la siguiente:

  Y(x)= x   (otra forma de expresar este resultado también es la expresión f(x)=x)

 

 

                                               

 

Funciones pares e impares

 

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

  Ejemplos 1:

La función y(x)=x  es impar ya que:

                                               

                                                             f(-x) = -x                            

                                                 

                                                      

                                                              pero como f(x) = x entonces:

                                                                         f(-x) = - f(x).

 

 

 

 

 

 

Funciones elementales.

 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

                   

 

 

 

 

 

 Funciones Algebraicas

 Funciones Polinómicas. Una función polinómica tiene la forma general:

Dependiendo del valor de “n” se tiene funciones de orden cero, primero, etc.

Ejemplos:

f(x) = 5                         Orden cero (función constante)

            f(x) = 3x + 2                 Función lineal o de primer orden

f(x) = x2 + x – 4            Función cuadrática o de segundo orden

f(x) = x3 + 1                 Función cúbica o de tercer orden

Nota. El dominio de toda función polinomial viene determinado por todos los números reales.

 Función de orden cero. Es toda función dada en la forma:

                                   f(x) = a0x0

La grafica de una función polinomial de orden cero es siempre una recta horizontal.

 

Ejemplo 4: Hallar, Dominio, Imagen y Grafico de la función:

y = f(x) = 3

Dominio. Por definición en dominio de la función son todos lo números reales. Df = R

 

f(-2) = 3; f(0) = 3; f(2) = 3                 Tabla de valores

 

 

x -2 0 1 4
y 3 3 3 3

                                                          

Grafico

 

 

                                                           Df = R

Imagen. La imagen esta conformada por el conjunto unitario 3. If =

 

. Función lineal. Son funciones polinómiales de primer orden que representa una línea recta y  tienen la forma:

Estas funciones también se pueden escribir en la forma explicita: y = m x + b donde m representa la pendiente de la recta, b la intersección con el eje vertical “y”.

El dominio de estas funciones viene dado por definición y son todos los números reales.

 

Ejemplo 5: Hallar, Dominio, Imagen y Grafico de la función:

y = f(x) = - x + 1

Dominio: Por definición  Df = R

f(x) = - x + 1                                                    Tabla de valores        

                                                                                Grafico:

x -1 1 0
y 2 0 1

f(-1) = -(-1) + 1 = 2   

 

f(0) = -(0) + 1 = 1                                                                                              

f(1) = -(-1) + 1 = 0                          Df = R       Imagen: If = R                                         

                                                                                      

Es una función puesto que cumple las condiciones de existencia y unicidad.

Recordemos que una relación es una función real de la variable real, si toda recta vertical corta a la grafica de la función en un solo punto. Además en  los pares ordenados no se repite ninguna primera componente, por lo tanto existe unicidad. Todos los valores del dominio tienen una imagen, con lo cual se cumple la condición de existencia.

 

 Función cuadrática. Es una función de segundo orden que tiene la siguiente forma:

La representación grafica de esta función es siempre una parábola, si la función tiene el coeficiente cuadrático positivo, la parábola tiene brazos abiertos hacia arriba, si es negativo, los brazos están dirigidos hacia abajo.

 

Ejemplo 6: Hallar, Dominio, Imagen y Grafico de la función:

y = f(x) = x2 – 2x – 3

 Dominio: por definición Df = R

Se puede determinar el vértice, llevando esta ecuación, a la forma de la ecuación de una parábola de la forma: (x – h)2  = ± LR (y – k)

 

Ordenando en el primer miembro las “x” y a la “y” en el segundo miembro se tiene:

 

x2 – 2x = y + 3                                            Completando cuadrados

x2 – 2x + 1 = y + 3 + 1                     Escribiendo el trinomio cuadrado perfecto

(x – 1)2 = 1 (y + 4)            Por analogía con la ecuación general de la parábola

 

(x – h)= ± LR (y – k)                      h = 1               k = - 4             LR = 1

 

Esto significa que el vértice de la parábola esta ubicado en P(1,- 4).

 

Escribiendo la función en forma explicita se tiene:

y = x2 – 2x – 3            o          y = (x – 3)(x + 1)

El valor de “y” se anula para x = 3 y x = 1, por lo tanto la grafica corta en estos puntos.

 y = x2 – 2x – 3

 Tabla de valores 

x 1 2 3 4 0 -1 -2
y 4 -3 0 5 -3 0 5

Grafico:

 

 Imagen:  If = (- 4,)

 

 Función cúbica. Son funciones polinómiales de tercer orden que tienen la forma:

Cuando a3 es positiva la grafica empieza subiendo, si es negativa bajando.

Si la ecuación es de la forma:; tiene 3 soluciones, la grafica corta 3 veces al eje “x”.

 

Ejemplo : Hallar, Dominio, Imagen y Grafico de la función:

y = f(x) = x3 – x

Dominio: Por definición Df = R

Tabla de valores

x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y -1.88 0 0.38 0 -0.38 0 1.88 6

Grafico:

  

Imagen: If = R

Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Función continua

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Función:

Una función es una transformación que recibe un conjunto de valores para convertirse en otros, con el único cumplimiento de que las primeras componentes correspondientes al primer conjunto no deben repetirse.

Una función se puede representar, mediante el siguiente esquema:

 

 

                                       

  

TRANSFORMACIÓN ( PROCESO)

              Función f(x)

 

            ENTRADAS                                                                        SALIDAS

            MATERIA PRIMA                                                              PRODUCTOS

 

 

           DOMINIO                                                                            IMAGEN

            VALORES DE X                                                                 VALORES DE Y