Para motivar la introducción del concepto de límite se inicia con un estudio relativo a las rectas tangentes.
Se trata de lograr una introducción más visual del concepto. A través de ejemplos sencillos se estudia, que ocurre con los valores de una función en las cercanías de un punto. Recurriendo a funciones anteriormente estudiadas, se analiza la no existencia del límite.
Se recurre a la visualización gráfica para observar como se comportan funciones cuando la variable tiende a infinito. Se estudian y aplican diversas técnicas de cálculo de límites. Se analizan gráfica y analíticamente características de las funciones continúas.
Se propone la realización de ejercicios de práctica y problemas, a los efectos de que los alumnos adquieran confianza y habilidad para realizar una adecuada aplicación del concepto de límite y continuidad.
Durante el desarrollo del tema se realizan comentarios históricos y bibliográficos

 

Definición de límite:

Una función continua en un punto x = a si cumple:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ej.: Al pesar un producto en el mercado se comete un error del 3%. Si por 5kg del producto se paga Bs 15 y el proceso de pesaje viene representado por la función:

               Donde:    precio (Bs)      y     peso (kg)

Hallar el peso y precio real del producto

Peso real:   de 5 kg             (kg)

                      (peso real del producto)

Precio real:               si             

                                si              

                                    si             

                                      si              

                                     (Bs)

                      (precio real del producto)

Límites Laterales.

Se dice que una función f(x) tiene límite L cuando x tiende a  si los limites laterales por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, es decir:

                       

Ej.: hallar el límite de la función, utilizando los límites laterales

x

1,5

1,9

1,99

2

2,01

2,1

2,5

y

3,5

3,9

3,99

4

4,01

4,1

4,5

1)                               

                             

                                       

Cuando “x” tiende a 2 por la izquierda “y” se aproxima a 4, y cuando “x” tiende a 2 por la derecha tambien “y” se aproxima a 4, como existen y son iguales entonces:

    

Teoremas de los Límites.

1)            ;                            6)    ;

2)         ;                            7)     ;

3)                      8)    ;

4)    9)   

5)    10) 

Límite Determinado e Indeterminado.

Límite determinado. Un límite es determinado cuando al evaluar la función en el valor al cual tiende x este límite existe o es un número real

Límite indeterminado. Un límite es indeterminado cuando al evaluar la función en el valor al cual tiende x el límite no existe, es decir da una indeterminación

Tipos de Indeterminaciones.

En la teoría de los límites se conocen siete tipos de indeterminaciones, los cuales son:

1)           2)            3)          4)           5)           6)            7)   

Calculo de límites Indeterminados.

Caso: 0/0  (Para salvar esta indeterminación se debe descomponer)

Ej.: resolver los siguientes límites

1)       

           Salvando la indeterminación, descomponiendo se tiene:

                         =          =      

2)      

           Salvando la indeterminación, descomponiendo y realizando un arreglo, se tiene:

                           

              =        =         =     -

Caso:   (Para salvar esta indeterminación se debe dividir cada termino por el xn, siendo n el de mayor exponente)

 

Ej.: resolver los siguientes límites

1)        

            Salvando la indeterminación, dividiendo por xn, siendo n el mayor exponente

                       

                 =          =          =     3

 

Asíntotas. Existen tres tipos de asíntotas, las cuales son:

Asíntotas Verticales: AV

Si:                  Entonces Existe AV en: 

Asíntotas Horizontales: AH

Si:                     Entonces Existe AH en:

Asíntotas Oblicuas: AO

Tiene la forma:      

Donde:                            y        

Continuidad de una Función.

Se dice que una función y = f(x) es continua en un punto x = a si cumple con las siguientes condiciones:

1)            (que la función este definida o exista en x = a)

2)          (que el limite de la función exista en x = a)

3)           (que la 1º y la 2º condición sean iguales)

Cuando no cumple con una de estas condiciones, se dice que la función es discontinua en x = a.

Discontinuidad.

Existen dos tipos de discontinuidad, que son: evitable y no evitable

Discontinuidad Evitable:

Se dice que una función f(x) es discontinua evitable en x = a, si:

§  Cumple la 2º y no la 1º condición de continuidad

§  Cumple la 1º y la 2º y no la 3º condición de continuidad

      Discontinuidad No Evitable:

      Se dice que una función f(x) es discontinua no evitable en x = a, si:

§  Cuando no cumple con la 2º condición de continuidad

Ej.: resolver el problema

1)    Una empresa de servicio de televisión por cable en nuestra ciudad, estima que el numero de usuarios que se suscriben cada mes viene dada por:

                          Donde:         C(t) = cantidad de usuarios

                                                                          t = tiempo en meses

a)  Encontrar el Dominio y Dominio de Imagen, además graficar la función

b)  Determinar si la suscripción de usuarios es continua o discontinua

c)  Calcular la cantidad de usuarios al cabo de 6 meses y al cabo de 2 años

a)  Dominio:   la función esta en forma explicita, porque C(t) = f(x)

     Si           (se busca el número que haga cero al denominador)

                                          

               El  D:  

     Dominio de Imagen:   se debe despejar x, en este caso t, porque t = x

                                        

                                   

                     El  DI:   

b)  Continuidad o discontinuidad:   (se analiza en el valor que hace cero al denominador de la función)

     Continuidad: en t = 2  (se analiza las tres condiciones)   

     1)          (no existe, entonces no cumple)

     2)             (no existe, entonces no cumple)

     3)                                     (no cumple)

     No cumple con ninguna de las tres condiciones, la función es discontinua en t = 2

            La suscripción del número de usuarios es discontinua al cabo de 2 meses

c)    Cantidad de usuarios:

Para  t = 6 (meses)

          

  La cantidad de usuarios al cabo de 6 meses es de 37,5 usuarios

Para  t = 2 (años) = 24 (meses)

       

  La cantidad de usuarios al cabo de 2 años (24 meses) es de 27,3 usuarios